這個問題,你用數學方式想過嗎?:史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課,大師教你像數學家一樣思考,讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力

寫給高中生、大學生和所有希望提升思考力的人的「數學思維入門」超過50,000人註冊，史丹佛大學教授最熱門的開放式數學課百萬人爭讀、比臉書和推特用戶成長更快超夯線上教育平台Coursera廣受歡迎的公開課 畢達哥拉斯獎、卡爾沙根科普獎得主，《數學的語言》作者嶄新力作，一本改變你對數學的看法的書！臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀合譯空白頁上寫著「此頁留白」，那這頁到底是不是空白的？所有的鳥類都會飛，所有的美洲豹都有斑紋……請證明給我看！有些大象不喜歡鬆餅……每個人都愛著某個人……(大象會爬樹) ( 3是無理數)(歐幾里得的生日是7月4日) (長方形有四個邊)(凱薩死了) (π > 3)若蘋果紅了，則它可以吃了……看起來理所當然的事真的如此確定無誤嗎？為什麼要用數學來思考？數學不是只有＋－×÷、函數、微積分，但是，用數學來思考可以幫我們做什麼？它讓我們有能力提出明確的關鍵性問題它讓我們以數學的嚴謹識別和描述問題它讓我們用數學的精確分析和解答問題誰需要學習數學思考？讓思考從混亂、令人沮喪、有時看起來不可能，到具有決定性的解析思維能力！希望提升分析思考技巧和具創新思維的人高中生、大學生，打算主修數學比重高的科目的學生無法藉由尋找樣板來依循、無法找公式來代換數值或者套程序來應用的人為什麼要用這本書來學數學思考？完全用不到數學步驟的數學思維入門課，跟著大師學思考！本書作者德福林是最具教授數學熱忱的著名史丹佛大學數學家超過50,000人搶讀的線上開放學習平台Coursera課程同名專書像學習騎腳踏車一樣的數學思考訓練，剛開始總是跌倒，成功卻非遙不可及透過理解問題的意義來解決問題數學家說，在他還沒有證明，或是尚未看到具有說服力的證明之前，他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算；「數學思維」則是一種思考事物的明確方法，且思考對象不限於數學。如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去，或者一個程序來應用，那麼，你該怎麼辦？答案就是：思考這個問題！本書作者齊斯‧德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家，致力於對大眾教授和傳播數學。他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程，吸引了全球超過50,000人爭相註冊，本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。本書的目標是協助發展數學思維的方法，而不是學習記誦一堆千篇一律的規則，窒礙了你的思考！ 無論是希望提升分析思考技巧的讀者，或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生，都能從書中學習到如何研究一個新問題，換個方式思考直覺看來正確的事物。讓看不見的得以被看見，讓不可解的問題得以被解決，讓我們學習像數學家一樣思考！齊斯‧德福林（Keith Devlin）著洪萬生、黃俊瑋、蘇惠玉、陳彥宏、葉吉海譯導讀洪萬生這兩三年來，國內出版界對於數學普及面向的關照，已經逐漸脫出數學的「有用」與「有趣」兩個主要面向，而開始注意到數學知識的嚴格論證。以我自己的經驗為例，2010年，當商周編輯請我幫忙審定《社會組也學得好的十堂數學課》時，我當時就覺得意外與驚喜，因為那是一本針對初等數學知識結構，鋪陳得相當嚴謹的普及作品。沒想到2012年，臉譜編輯也請我幫忙審定同一類型的《1, 2, 3和＋－×÷的數學旅行》。現在，這一本《這個問題，你用數學方式想過嗎？》則更嚴肅地強調：從中學數學到大學數學的銜接課程中，嚴密論證訓練的不可或缺。因此，這本可以視為數學普及訴求的著作，在另一方面，也被賦予了數學通識的教材功能。事實上，如果讀者瀏覽本書目錄（共有四章），即可發現作者德福林（Keith Devlin）對「語言精確」和「證明嚴謹」的高度重視。在第2章中，作者花了許多篇幅，詳盡地說明了數學述句、邏輯連詞、蘊涵以及（邏輯）量詞。顯然，作者認為這些單元的精熟，可以幫助吾人「將語言精確化」。而在第3章中，作者則是說明證明的幾種（推論）形式，包括含量詞的命題之證明時必須注意的事項。此外，為了說明數學學習的這兩個基本要求，作者還不惜安排本書第4章，利用整數、實數、完備性與數列四個單元，來「闡釋數學證明的意義」，儘管「本書的重點是一種特殊類型的思維」，而不是特定的數學。不過，這些在數學（系）專業訓練中佔有古典核心的單元，為何值得納入現代大學生的數學通識教材呢？作者以其在企業界擔任數學顧問的身分，特別苦口婆心地指出：企業員工之晉升必須要有數學技能的工作能力。這種技能可以分為兩種類型：擁有第一類型的人能夠提出數學問題，並求得其解；至於擁有第二類型的人，則能夠提出新問題，並按數學方式來形成、識別和描述這些問題的主要面貌，從而得以精確運用數學的敘述去進行分析。在過去，有相當大的需求聘僱具有第一類型技能的人才，而僅有少部分進一步需要第二類型的人才。儘管我們的數學教育過程大多能滿足這兩方面的需求，不過，基本上它總是聚焦在培養第一類型的人才。可是，當今企業公司必須持續創新以保持競爭力，因此，他們對人才的需求已經轉向第二類型那些能跳出數學框架，而不是身陷其中去思考的人。換言之，在21世紀，較大的需求會是擁有第二類型能力的人才。這種人才，作者提議稱呼他們為「創新的數學思考者」。這種新類型的人才除了基礎數學技能的精熟之外，對於數學知識結構，也被要求必須擁有概念性的理解或思考能力。至於他們即將面對的處境，則正如作者所指出，在這21世紀，除了原有的數學技術之外，時時刻刻都有新的技術被發展出來，因此，要想在K-16年（幼稚園到大學）的教育過程中，涵蓋所有的技術之學習，是完全不可能的。當大學生畢業並進入職場的時候，有許多他們在大學時期學過的特定技術，可能已經不再重要或者遭受淘汰，反而是學校教育中未學過的新技術正當流行，因此，目前教育的焦點必須放在學習如何學習上。而相應地，無論是中學到大學的數學銜接課程（假定高中職數學課程不夠深入），或者是大學的數學通識課程，教學或學習的焦點都必須在計算技能的精熟之外，也兼顧潛在的、基本的概念思考能力。這種基本的數學思維能力之訓練，其實可以強化我們的日常邏輯思維。前一陣子，我在高速公路的一個交流道入口處，發現有一個交通號誌圖示：「大於或等於250cc重型機車不可進入」。這個數學或邏輯上的謬誤或許情有可原，因為此一入口緊鄰一條快速道路的交流道入口，而快速道路允許250cc以上的重型機車行駛。好在目前該交通號誌上的「大於或等於250cc」字樣，已經被白膠布遮蓋，否則行經該處時，我這個「數學人」總是有一種不知從何說起的感覺。無論如何，國中數學簡單的不等式與邏輯連詞（「非」）的結合，即使在與日常生活息息相關的交通法規之說明上，都顯得如此不可或缺。看來，本書作者所期許的現代公民之數學核心素養，果然頗有道理！總之，本書是一本值得精讀的數學普及小書。作者建議：如果在大學數學通識的層次上，將它充當正規的教材使用，則不妨在五至七週內授完。不過，他也希望讀者能夠正面挑戰本書所配備的習題，「慢慢來」， 而且最好與同學一起思考與解題。這個建議對於那些將本書列為數學普及書籍的讀者來說，也同樣適用。另一方面，中學數學教師也可以在（高三）特色數學選修課程中，將本書列為教材，幫助學生在進入大學之前，統整數學知識結構與邏輯思維，從而強化概念性或結構性的理解。至於國中數學教師，則可推薦本書充當數理資優班的教材，讓學生在一般難題的求解挑戰之外，也可以看到數學的另一個「新的」天地，從而開啟他們的知識獵奇心靈。最後，我還要特別推薦本書第2章，作者將日常語言與邏輯思維的連結，呈現得親切易讀，是同類書寫中的經典，一般科普讀者千萬不要錯過！（本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授暨本書統籌譯者）目錄：導讀 洪萬生序言導論：本書之為用1. 數學是什麼？1.1 遠超過算術1.2 數學的符號1.3 現代大學程度的數學1.4 為什麼你必須學習這些東西？2 將語言精確化2.1 數學述句2.2 邏輯連詞：且、或以及非2.3 蘊涵2.4 量詞3 證明3.1 何謂證明？3.2 反證法3.3 證明條件句3.4 證明量化命題3.5 歸納證明4 證明有關數字的成果4.1 整數4.2 實數4.3 完備性4.4 數列附錄：集合論索引

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